บทที่ 1 เซต
วัตถุประสงค์ของบทที่ 1 เซต
1. สามารถอธบายความหมายเกี่ยวกับเซตได้
2. สามารถยกตัวอย่างเกี่ยวกับเซตได้
1.1 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต
เซต ในทางคณิตศาสตร์เป็นคำซึ่งไม่สามารถให้ความหมายได้ แต่เป็นที่คำใช้กล่าวถึง "กลุ่ม." ของสิ่งต่างๆ เช่นเซตของประเทศในทวีปยุโรป หรือ เซตจำนวนเต็มที่เป็นตัวประกอบของ 99
เซตในวิชาคณิตศาสตร์จะต้องเป็น เซตที่มีความชัดเจน (well-defined set) กล่าวคือ เมื่อกำหนดสิ่งใดมาให้แล้ว จะไม่สามรถบอกได้ตรงกันว่าสิ่งนั้นเป็นสมาชิกที่กล่าวถึงหรือไม่
ใช้สัญลักษณ์ n(A) แทน จำนวนสมาชิกของเซต A
เซตว่าง คือเซตที่ที่ไม่มีสมาชิก เขียนที่ด้วยสัญลักษณ์ ∅ หรือ {}
วิธีการเขียนเซต ทำได้ 2 วิธี คือ
1. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก คือ เขียนแสดงสมาชิกของเซตให้เห็นเลย เห็นแล้วรู้เลยว่ามีอะไรบ้าง
2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข เป็นการบรรยายลักษณะ (เงื่อนไข) ของสมาชิกให้คนอ่านแปลเอาเอง
ประเภทของเซต มี 2 ประเภท คือ
1. เซตจำกัด (Finite set) คือ เซตที่บอกจำนวนสมาชิกได้
2. เซตอนันต์ (Infinite set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
1.2 สับเซตและเพาเวอร์เซต
สับเซต(Subset) คือ เซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากการนำสมาชิกของเซตเดิมมาสร้างเป็นเซตใหม่สามารถตรวจสอบการเป็น สับเซต จากข้อกำหนดที่ว่า
Aเป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A ⊂ B , A ไม่เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A⊄ B
เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
เพาเวอร์เซต (เซตกำลัง : Power Set) คือ เซตของสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้
เขียนแทนด้วย P(A)
∅∈P(A) : เซตว่างเป็นสมาชิกของทุกเพาเวอร์เซต
A∈P(A) : ทุกๆเซตเป็นสมาชิกของเพาเวอร์เซตของตัวมันเอง
1.3 Set Operation
ปฏิบัติการของเซต เป็นการกระทำเพื่อสร้างเซตใหม่ มี 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (union)
A ∪ B คือ เซตที่ได้จากการนำสมาชิกจาก A และ B มารวมเข้าด้วยกัน ดังแผนภาพ
เซตในวิชาคณิตศาสตร์จะต้องเป็น เซตที่มีความชัดเจน (well-defined set) กล่าวคือ เมื่อกำหนดสิ่งใดมาให้แล้ว จะไม่สามรถบอกได้ตรงกันว่าสิ่งนั้นเป็นสมาชิกที่กล่าวถึงหรือไม่
ใช้สัญลักษณ์ n(A) แทน จำนวนสมาชิกของเซต A
เซตว่าง คือเซตที่ที่ไม่มีสมาชิก เขียนที่ด้วยสัญลักษณ์ ∅ หรือ {}
วิธีการเขียนเซต ทำได้ 2 วิธี คือ
1. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก คือ เขียนแสดงสมาชิกของเซตให้เห็นเลย เห็นแล้วรู้เลยว่ามีอะไรบ้าง
2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข เป็นการบรรยายลักษณะ (เงื่อนไข) ของสมาชิกให้คนอ่านแปลเอาเอง
ประเภทของเซต มี 2 ประเภท คือ
1. เซตจำกัด (Finite set) คือ เซตที่บอกจำนวนสมาชิกได้
2. เซตอนันต์ (Infinite set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
1.2 สับเซตและเพาเวอร์เซต
สับเซต(Subset) คือ เซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากการนำสมาชิกของเซตเดิมมาสร้างเป็นเซตใหม่สามารถตรวจสอบการเป็น สับเซต จากข้อกำหนดที่ว่า
Aเป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A ⊂ B , A ไม่เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A⊄ B
เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
เพาเวอร์เซต (เซตกำลัง : Power Set) คือ เซตของสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้
เขียนแทนด้วย P(A)
∅∈P(A) : เซตว่างเป็นสมาชิกของทุกเพาเวอร์เซต
A∈P(A) : ทุกๆเซตเป็นสมาชิกของเพาเวอร์เซตของตัวมันเอง
1.3 Set Operation
ปฏิบัติการของเซต เป็นการกระทำเพื่อสร้างเซตใหม่ มี 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (union)
A ∪ B คือ เซตที่ได้จากการนำสมาชิกจาก A และ B มารวมเข้าด้วยกัน ดังแผนภาพ
2. อินเตอร์เซกชัน (intersection)
A ∩ B คือ เซตของสมาชิกที่มีซ้ำกันทั้งใน AและB ดังแผนภาพ
3. ผลต่าง (difference)
ผลต่างไม่มีสมบัติของการสลับที่เหมือนยูเนียนหรืออินเตอร์เซกชัน พิจารณาจาก แผนภาพ
A-B เซตของสมาชิกที่อยู่ใน Aแต่ไม่อยู่ใน B
4. คอมพลีเมนต์ (complement)
A’ คือ เซตของสมาชิกที่ไม่อยู่ใน A (อยู่ข้างนอกA) ดังแผนภาพ
1.4 จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
ในการหาจำนวนสมาชิกของเซต อาจใช้วิธีวาดแผนภาพแล้วลงจำนวนสมาชิกในแต่ละพื้นที่ตามเงื่อนไขหรือใช้ สูตรสำเร็จในการคำนวนได้เลย หากปัญหาไม่ซับซ้อนมากนัก
สูตรหาจำนวนสมาชิกเซต
2 เซต n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
3 เซต n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
1.5 การใช้เซตแก้โจทย์ปัญหา
กำหนดให้A คือ เซตของคนที่ชอบสุนัข และ B คือ เซตของคนที่ชอบแมว จะได้ว่า
1. เซตของของจำนวนคนทั้งหมด U
2. เซตของคนที่ชอบสุนัข หรือ แมว A∪B
3. เซตของคนที่ชอบสนุข และ แมว A∩B
4. เซตของคนที่ชอบสุนัขแต่ไม่ชอบแมว A-B
5. เซตของคนที่ชอบแมวแต่ไม่ชอบสุนัข B-A
6. เซตของคนที่ไม่ชอบสุนัข A’
7. เซตของคนที่ไม่ชอบแมว B’
8. เซตของคนที่ไม่ชอบทั้งสุนัขและแมว (A∪B)’
แบบฝึกหัด
ในการสอบของนักเรียนชั้นประถมศึกษากลุ่มหนึ่ง พบว่า มีผู้ที่สอบผ่านวิชาต่างๆ ดังนี้
คณิตศาสตร์ 39 คน สังคมศึกษา 50 คน ภาษาไทย 46 คน
คณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 13 คน
ภาษาไทยและสังคมศึกษา 15 คน
คณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 8 คน
ทั้งสามวิชา 7 คน
จำนวนผู้ที่สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชามีกี่คน (ข้อสอบเติมคำตอบ)
วิธีทำ ให้ A,B,C คือ เซตของผู้สอบคณิตศาสตร์ สังคมศึกษา และภาษาไทย ตามลำดับ จะได้
n(A)=39 n(B)=50 n(C)=46 n(A∩B)=13 n(B∩C)=15 n(A∩C)=8 และ n(A∩B∩C)=7
โดยโจทย์อยากรู้จำนวนคนอื่นที่สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา คือ สอบผ่าน คณิตศาสตร์หรือสังคมฯ หรือไทยวิชาใดวิชาหนึ่ง ซึ่งก็คือ n(A∪B∪C) นั่นเอง
จากสูตร n(A∪B∪C) =n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
แทนค่า : =39+50+46-13-15-8+7
= 106
ดังนั้น จำนวนผู้ที่สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชามี 106 คน
อ้างอิง
จบบทที่ 1 ขอบคุณค่ะ
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น