ฟังก์ชัน
วัตถุประสงค์
1. สามารถบอกความหมายของฟังก์ชันได้
2. สามารถแสดงวิธีการหาฟังก์ชันได้
1. ความรู้พื้นฐาน
- คู่อันดับ (a,b) เป็นการจับคู่ระหว่างสองสิ่งที่มีความสัมพันธ์กับโดยที่ a คือสมาชิกตัวหน้า และ bคือสมาชิกตัวหลัง ทั้งนี้ หาดสลับที่สมาชิกตัวหน้าและตัวหลัง จะทำให้ลำดับของความสัมพันธ์ใน อันดับผิดไป เช่น (2,3) ≠ (3,2)
คู่อันดับ(a.b) = คู่อันดับ (c,d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
- ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A x B คือเซตของคู่อันดับที่สมาชิก ตัวหน้ามาจาดเซต A และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต B โดยทั่วไปแล้ว A x B ≠ B x A
- ความสัมพันธ์ (relation : r ) คือ เซตของคู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ต้องการจากผลคูณ คาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์ภายในเซต A คือ ความสัมพันธ์ จาก A ไป A
2. ฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ที่สมาชิกตัวหน้าจับคู่กับสมาชิกตัวหลังได้เพียวตัวเดียว
วิธีการตรวจสอบฟังก์ชัน
1. ความสัมพันธ์เป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิก
ดูว่าสมาชิกตัวหน้าจับคู่มากกว่า 1 ตัวหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าจับคู่มากกว่า 1 ตัว แล้วจะไม่เป็น ฟังก์ชัน
2. ความสัมพันธ์ที่เป็นสมการ
เมื่อแทนค่า x ในสมการ จะต้องให้ y ออกมาเพียงค่าเดียว ถ้าได้ y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าไม่เป็น ฟังก์ชัน
3. กราฟของความสัมพันธ์
ทำได้โดยลากเส้นตรงในแนวดิ่งตัดกราฟ ถ้าตัดมากกว่า 1 จุด แสดงว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน
3. โดเมนและเรนจ์
โดเมน คือ เซตของค่า x ที่ทำให้ y หาค่าได้
เรนจ์ คือ เซตของค่า y ที่ทำให้ x หาค่าได้
ตัวอย่าง กำหนดให้ r = {(0,3),(2,-4),(3,9),(5,11)} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
วิธีทำ โดเมนของ r คือเซตของคู่อันดับตัวหน้าใน r ดังนั้น Dr ={0,2,3,5}
เรนจ์ของ r คือเซตคู่อันดับตัวหลังใน r ดังนั้น Rr = {-4,3,9,11}
4.การหาค่าของฟังก์ชัน
การหาค่าของฟังก์ชันทำได้ 3 วิธี คือ หาจากเซตแบบแจกแจงสมาชิก อ่านจากกราฟ และแทนค่า ในสมการทั้งนี้ ค่าของฟังก์ชันคือค่าของ y
ตัวอย่าง กำหนดให้ f = {(2,5),(4,3),(-1,3),(3,1),(4,0),(7,8)}
จงหาค่าของ a ซึ่ง f(a) = f (-1) + f (2)
วิธีทำ ดูจากฟังก์ชัน f จะได้ว่า f(-1) = 3 และ f(2) = 5 ดังนั้น f (-1) + f (2) = 8
โดยจะเห็นว่า f(7) = 8 ดัวนั้น a = 7
5. ฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชันเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax+b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงที่
ตัวอย่าง กำหนด f เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นระหว่างขนาดรองเท้า (x) และค่ารองเท้า (y)
เมื่อ ขนาดรองเท้า คือ 36 ราคารองเท้า เท่ากับ 180 บาท
ขนาดรองเท้า คือ 40 ราคารองเท้า เท่ากับ 240 บาท
1. จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ f(x) กับ x
2. จงหาขนาดรองเท้า เมื่อราคารองเท้าคือ 300 บาท
3. จงหาราคารองเท้า เมื่อขนาดรองเท้า คือ 45
วิธีทำ เนื่องจากf เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแสดงว่า y = f(x) = ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงที่
จากโจทย์ เมื่อ x = 36 , y =180 จะได้ว่า 180 = 36a + b ...(1)
และ เมื่อ x = 40 , y = 240 จะได้ว่า 240 = 40a + b ...(2)
(2) - (1) : 60 = 4a ดังนั้น a = 15
แทน (1) : b = -360
ดังนั้น f(x) = 15x - 360
เมื่อราคารองเท้า คือ y = 300 แก้สมการได้ x = 44 นั่นคือ ขนาดรองเท้า เท่ากับ 44
เมื่อขนาดรองเท้า คือ x = 45 จะได้ ราคา(y) = 14(45) - 360 = 315 บาท
6.ฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax^2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็น จำนวนจริงใด ๆ และ a ไม่เท่ากับ 0ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าพาราโบลา
1. a > 0 จะเป็นเป็นกราฟ พาราโพลาหงาย ให้ ค่าต่ำสุด
2. a < 0 จะเป็นเป็นกราฟ พาราโบลาคว่ำ ให้ ค่าสูงสุด
วิธีทำ จาก y = 2x^2 + 4x – 16
= 2(x^2 + 2x – 8)
= 2{(x^2 + 2x + 1) – 8 – 1}
= 2{(x + 1)^2 – 9}
= 2(x + 1)^2 – 18
จะได้ h = -1 , k = -18
ดังนั้น จุดวกกลับคือ (-1, -18)
วิธีทำ โดเมนของ r คือเซตของคู่อันดับตัวหน้าใน r ดังนั้น Dr ={0,2,3,5}
เรนจ์ของ r คือเซตคู่อันดับตัวหลังใน r ดังนั้น Rr = {-4,3,9,11}
4.การหาค่าของฟังก์ชัน
การหาค่าของฟังก์ชันทำได้ 3 วิธี คือ หาจากเซตแบบแจกแจงสมาชิก อ่านจากกราฟ และแทนค่า ในสมการทั้งนี้ ค่าของฟังก์ชันคือค่าของ y
ตัวอย่าง กำหนดให้ f = {(2,5),(4,3),(-1,3),(3,1),(4,0),(7,8)}
จงหาค่าของ a ซึ่ง f(a) = f (-1) + f (2)
วิธีทำ ดูจากฟังก์ชัน f จะได้ว่า f(-1) = 3 และ f(2) = 5 ดังนั้น f (-1) + f (2) = 8
โดยจะเห็นว่า f(7) = 8 ดัวนั้น a = 7
5. ฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชันเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax+b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงที่
ตัวอย่าง กำหนด f เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นระหว่างขนาดรองเท้า (x) และค่ารองเท้า (y)
เมื่อ ขนาดรองเท้า คือ 36 ราคารองเท้า เท่ากับ 180 บาท
ขนาดรองเท้า คือ 40 ราคารองเท้า เท่ากับ 240 บาท
1. จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ f(x) กับ x
2. จงหาขนาดรองเท้า เมื่อราคารองเท้าคือ 300 บาท
3. จงหาราคารองเท้า เมื่อขนาดรองเท้า คือ 45
วิธีทำ เนื่องจากf เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแสดงว่า y = f(x) = ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงที่
จากโจทย์ เมื่อ x = 36 , y =180 จะได้ว่า 180 = 36a + b ...(1)
และ เมื่อ x = 40 , y = 240 จะได้ว่า 240 = 40a + b ...(2)
(2) - (1) : 60 = 4a ดังนั้น a = 15
แทน (1) : b = -360
ดังนั้น f(x) = 15x - 360
เมื่อราคารองเท้า คือ y = 300 แก้สมการได้ x = 44 นั่นคือ ขนาดรองเท้า เท่ากับ 44
เมื่อขนาดรองเท้า คือ x = 45 จะได้ ราคา(y) = 14(45) - 360 = 315 บาท
6.ฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax^2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็น จำนวนจริงใด ๆ และ a ไม่เท่ากับ 0ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าพาราโบลา
1. a > 0 จะเป็นเป็นกราฟ พาราโพลาหงาย ให้ ค่าต่ำสุด
2. a < 0 จะเป็นเป็นกราฟ พาราโบลาคว่ำ ให้ ค่าสูงสุด
ตัวอย่าง จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน y = 2x^2 + 4x – 16
วิธีทำ จาก y = 2x^2 + 4x – 16
= 2(x^2 + 2x – 8)
= 2{(x^2 + 2x + 1) – 8 – 1}
= 2{(x + 1)^2 – 9}
= 2(x + 1)^2 – 18
จะได้ h = -1 , k = -18
ดังนั้น จุดวกกลับคือ (-1, -18)
7. ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชีบล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax เมื่อ a > 0 และ a ¹ 1
ลักษณะของกราฟแบ่งได้เป็น 2 แบบ
แบบที่ 1 ถ้า 0 < a < 1 แล้วค่าของ f(x) จะมีค่าลดลงเรื่อยๆ
แบบที่ 2 ถ้า a > 1 แล้ว ค่าของ f(x) จะมีค่าเพิ่มเรื่อยๆ
8. ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
y = |x - a| + c เมื่อ a และ c เป็นจำนวนจริง
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ จะมีลักษณะเป็นเส้นตรงสองเส้นมาเจอกันที่จุดหักมุม
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ เมื่อหน้าค่าสัมบูรณ์มีค่า + จะได้กราฟหงาย
อ้างอิง
บรรณานุกรม
ณัฐ อุดมพาณิชย์ . หัวใจคณิตศาสตร์ O-NET พิมพ์ ครั้งที่ 2 กรุงเทพฯ. สถาบันสอนวิชาคณิตศาสตร์ NUTTY PROFESSOR .
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น